閑話與科普 科普向 關於希爾伯特空間
這裡是道長的科普頻道!
正文裡,我們的主角王崎第二次使用的金手指,是來自地球的大數學家大衛‧希爾伯特的希爾伯特空間。
由於不想再正文水字數,所以貧道將這個數學方法的科普貼在這裡!有興趣的書友不妨進來一看哦~
阿爾伯特空間並不是確實存在的,而是抽象的、用於演算的工具,即相空間。
每個讀過中學數學的朋友應該都建立過二維的笛卡兒平面:畫一條x軸和一條與其垂直的y軸,並加上箭頭和刻度【也就是通常所說的平面直角坐標系】。在這樣一個平面系統裡,每一個點都可以用一個包含兩個變量的坐標(x,y)來表示,例如(1,2),或者(4.3,5.4),這兩個數字分別表示該點在x軸和y軸上的投影。當然,並不一定要使用直角坐標系統,也可以用極坐標或者其他坐標系統來描述一個點,但不管怎樣,對於2維平面來說,用兩個數字就可以唯一地指明一個點了。如果要描述三維空間中的一個點,那麼我們的坐標裡就要有3個數字,比如(1,2,3),這3個數字分別代表該點在3個互相垂直的維度方向的投影。
讓我們擴展一下思維:假如有一個四維空間中的點,我們又應該如何去描述它呢?顯然我們要使用含有4個變量的坐標,比如(1,2,3,4),如果我們用的是直角坐標系統,那麼這4個數字便代表該點在4個互相垂直的維度方向的投影,推廣到n維,情況也是一樣。諸位大可不必費神在腦海中努力構想4維或者11維空間是如何在4個乃至11個方向上都互相垂直的,事實上這只是我們在數學上構造的一個假想系統而已。
我們所關心的是:n維空間中的一個點可以用n個變量來唯一描述,而反過來,n個變量也可以用一個n維空間中的點來涵蓋。
現在讓我們回到物理世界,我們如何去描述一個普通的粒子呢?在每一個時刻t,它應該具有一個確定的位置坐標(q1,q2,q3),還具有一個確定的動量p。動量也就是速度乘以質量,是一個矢量,在每個維度方向都有分量,所以要描述動量p還得用3個數字:p1,p2和p3,分別表示它在3個方向上的速度。總而言之,要完全描述一個物理質點在t時刻的狀態,我們一共要用到6個變量。而我們在前面已經看到了,這6個變量可以用6維空間中的一個點來概括,所以用6維空間中的一個點,我們可以描述1個普通物理粒子的經典行為。我們這個存心構造出來的高維空間就是系統的相空間。
假如一個系統由兩個粒子組成,那麼在每個時刻t這個系統則必須由12個變量來描述了。但同樣,我們可以用12維空間中的一個點來代替它。對於一些宏觀物體,比如一隻貓,它所包含的粒子可就太多了,假設有n個吧,不過這不是一個本質問題,我們仍然可以用一個6n維相空間中的質點來描述它。這樣一來,一隻貓在任意一段時期內的活動其實都可以等價為6n空間中一個點的運動(假定組成貓的粒子數目不變)。我們這樣做並不是吃飽了飯太閑的緣故,而是因為在數學上,描述一個點的運動,哪怕是6n維空間中的一個點,也要比描述普通空間中的一隻貓來得方便。在經典物理中,對於這樣一個代表了整個系統的相空間中的點,我們可以用所謂的哈密頓方程去描述,並得出許多有益的結論。
——部分選自曹天元《量子物理史話》 本帖最後由 yht 於 2015-12-7 22:32 編輯
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